ОГЭ по математике - решение геометрической задачи №16 варианты 1, 9, 14, 35, 38

Введение

Друзья мои, в третий раз в серии встречается задача на определение угла между хордой и касательной по заданной дуге. Причём, как я выяснил, аналогичные задания предлагаются ещё в двух вариантах. Чтобы не толочь воду в ступе, в последний раз привожу решение этой задачи. Полагаю, опираясь на этот образец, вам не трудно будет разобраться с соответствующими заданиями из вариантов 35 и 38.

Условие

Дано: меньшая дуга AB равна 26˚

BC – касательная

Найти ∟ABC

Для решения задачи могут быть полезны следующие сведения.

База знаний

•    Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

•   Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

•  Сумма углов любого треугольника 180˚.

•  В центральном угле окружности столько же градусов, сколько в соответствующей ему дуге.

Решение

Построим два радиуса - OB и OA. Найдём, чему равен ∟OBA, а зная, к тому же, чему равен ∟OBC, определим ∟ABC.

Рассмотрим треугольник AOB.

Этот треугольник равнобедренный, так как OB=OA=R – радиус окружности.

∟AOB = 26˚

А сумма всех углов треугольника 180˚, поэтому на сумму двух остальных углов треугольника остаётся

∟ABO+∟BAO=180˚-26˚=154˚

∟ABO=∟BAO, так как это углы при основании равнобедренного треугольника, значит
∟ABO=154˚/2=77˚

Радиус BO перпендикулярен касательной BC, то есть ∟OBC=90˚

Отсюда получаем ∟ABC=∟OBC-∟ABO=90˚-77˚=13˚

Ответ 13

Основные выводы

Таким образом, друзья, пользуясь моим сайтом, вы получили решение трёх вариантов аналогичных разобранной здесь задачи.

Осталось ещё 2. Надеюсь, вы поупражняетесь в их решении. Для вашего удобства приведу исходные данные и ответы ко всем пяти вариантам:

Напомню, что решение задачи  №16 из варианта №1 дано здесь:

https://sergey-s-rolev.ru/resheniye-zadach-oge-po-matematike-geometriya-variant-1-zadacha-16

А из варианта №9 здесь:

https://sergey-s-rolev.ru/resheniye-zadach-oge-po-matematike-geometriya-variant-9-zadacha-16

Присмотревшись к этой таблице, я заметил любопытную закономерность: во всех вариантах число в ответе ровно в два раза меньше того числа. которое дано в условии.

Привожу доказательство того, что эта закономерность не случайна.

Запишем нашу задачу в общем виде:  

Пусть дуга AB равна a˚. Угол ABC равен x˚.

Тогда из представленного выше решения следует:

х = 90 – (180-а)/2 = 90-90+а/2 = а/2.

Таким образом, если на экзамене вам попадётся аналогичная задача, а вы не хотите терять время на её решение, можете сразу написать в ответе половину числа, данного в условии.

Удачи в подготовке к ОГЭ!