Введение
Итак, друзья мои, перед нами первая задача под номером №18 сборника типовых экзаменационных заданий И.В. Ященко. В задании указаны размеры только квадратиков клетчатой бумаги, на которой изображён ромб, площадь которого мы должны определить. Особенность всех задач №18 в том, что размеры фигур определяются по клеткам. В этой заметке приведён разбор задачи варианта №1. Задачи вариантов 9, 14, 35, 38 решаются аналогично.
Условия задачи
Дано:
ABCD – ромб
Размер каждой клетки 1×1
Найти площадь ромба S
Решать эту задачу можно по-разному. Приведу два способа.
Способ 1
База данных 1
В решении будут использованы следующие сведения
- Диагонали ромба перпендикулярны
- Точка пересечения диагоналей ромба делит каждую из них пополам
- Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны
- Все стороны ромба равны
- Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту
Решение 1
Построив диагонали ромба, убедимся, что
диагональ AC = 10
диагональ BD = 2
отрезок BO = 1
В треугольнике ABC можем считать AC основанием, а BO – высотой, тогда площадь этого треугольника равна
SABC = 0,5 × AC × BO = 0,5 × 10 × 1 = 5
Теперь докажем, что треугольники ABC и ACD равны.
Поскольку ABCD ромб, AB = AD, BC = CD. При этом сторона AC для рассматриваемых треугольников общая, стало быть, они равны. Из этого следует, что площадь ромба равна удвоенной площади треугольника SABC, то есть 2 × 5 = 10
Ответ: 10
Способ 2
База данных 2
В решении будут использованы следующие сведения
- диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника
- площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон
Решение 2
Рассмотрим прямоугольник AEBO:
AE = 1, EB= 5
площадь S AEBO = 1×5 =5
площадь S ABO = 0,5 S AEBO = 0,5×5 = 2,5
Сравним треугольники ABO и ADO
AB = AD – стороны ромба
BO = DO – так как точка O делит диагональ BD пополам
AO – общая сторона для этих треугольников
Таким образом, три стороны треугольника ABO равны трём сторонам треугольника ADO, следовательно эти треугольники равны, и площадь S ADO = S ABO = 2,5
Аналогично легко доказать, что равны треугольники
ABO = BCO = DCO
Итак, доказано очевидное: ромб состоит из четырёх равных треугольников площадью 2,5
Следовательно, площадь ромба равна 4×2,5 = 10
Ответ: 10
Основные выводы
Итак, площадь ромба равна половине описанного около него прямоугольника. А, поскольку стороны этого прямоугольника равны диагоналям ромба, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Желаю новых успехов в подготовке к ОГЭ!
Оставить комментарий