Введение
В этой заметке приводится решение задачи под номером №19 варианта № 9. Задание содержит три спорных утверждения. В ответе следует указать номер верного утверждения.
Вопрос № 1
Верно ли утверждение:
«Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом»
Чтобы разобраться с этим вопросом построим параллелограмм с равными и взаимно перпендикулярными диагоналями.
Рассмотрим Δ BOC
Известно, что диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам и при этом дано, что они равны, поэтому
BO = OC = OD = AO
Поскольку диагонали перпендикулярны, треугольники
Δ BOC = Δ DOC = Δ AOD = Δ AOB – как прямоугольные с равными катетами, следовательно стороны параллелограмма равны:
BC = DC = AD = AB
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90˚, а, если при этом треугольник равнобедренный, острые углы равны, значит каждый из них равен 90˚: 2 = 45˚
Таким образом, доказано, что углы параллелограмма прямые, так как каждый из них состоит из двух углов по 45˚
Итак, все стороны параллелограмма равны, а все углы прямые, стало быть, это квадрат.
Значит, первое утверждение верно и в ответ ставим цифру 1.
Вопрос № 2
Верно ли утверждение:
«Смежные углы всегда равны»
Построим два смежных угла:
Смежные углы равны только при условии, что они прямые. Разумеется, это не всегда так.
Итак, второе утверждение не верно. В ответ цифру 2 не пишем.
Вопрос № 3
Верно ли утверждение:
«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой»
Известно, что биссектриса равнобедренного треугольника, опущенная из его вершины на основание, является высотой.
Однако, то, что биссектриса угла при основании перпендикулярна боковой стороне – не факт. Попробуем доказать или опровергнуть это утверждение.
Построим равнобедренный треугольник ABC с биссектрисой AD угла при основании.
Допустим, что AD – высота. В таком случае, можно утверждать, что Δ ABD = Δ ADC, так как сторона AD для них общая, а прилегающие к ней углы соответственно равны: ∟1 = ∟2, ∟ ADB = ∟ ADC
Из равенства треугольников ABD и ADC следует равенство сторон AC = AB. А, так как треугольник ABC равнобедренный BC = AB = AC, то есть Δ ABC не просто равнобедренный, но и равносторонний.
Таким образом доказано, что биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника является высотой, только в том случае, если треугольник равносторонний, а, в общем случае это не так.
Значит, в ответ цифру 3 не пишем.
Ответ: 1
Основные выводы
Для правильного ответа на поставленный вопрос будет полезно знать, что
- диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам
- сумма углов острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚
- углы при основании равнобедренного треугольника равны
- что такое смежные углы
- каждая биссектриса является высотой только в равностороннем треугольнике
Желаю новых успехов в подготовке к ОГЭ!
Оставить комментарий