Условие задачи
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках А и В, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой АВ. Докажите, что прямые АВ и IJ перпендикулярны.
Решение
Изобразим ситуацию на чертеже:
Дополнительно соединим центры окружностей с точками пересечения.
Рассмотрим треугольник АIВ. Этот треугольник является равнобедренным, так как АI = IВ – как радиусы большей окружности.
Докажем, что IJ биссектриса угла АIВ, то есть ∟ВIJ = ∟АIJ.
Для этого достаточно доказать равенство треугольников ВIJ = АIJ. Как мы уже отметили, АI = IВ, кроме того, ВJ = АJ – как радиусы меньшей окружности, а сторона IJ для треугольников ВIJ и АIJ общая.
Итак, три стороны треугольника ВIJ равны трём сторонам треугольника АIJ, следовательно, эти треугольники равны, а IJ является биссектрисой вершины равнобедренного треугольника АIВ.
Поскольку биссектриса вершины равнобедренного треугольника является высотой, АВ перпендикулярна IJ, что и требовалось доказать.
Основные выводы
Для решения этой задачи
- полезен хороший чертёж
- нужно знать признаки равенства треугольников
- надо знать, что биссектриса вершины равнобедренного треугольника является медианой и высотой
Желаю новых успехов в подготовке к ОГЭ!
Оставить комментарий