Условие задачи
Известно, что около четырёхугольника АВСD можно описать окружность, и что продолжения сторон АВ и СD четырёхугольника пересекаются в точке М. Доказать, что треугольники МВС и МDА подобны.
Решение
Изобразим ситуацию на чертеже:
На первый взгляд, не очевидно, что треугольники МВС и МDА подобны. Это потому, что они перевёрнуты относительно друг друга. Но, если присмотреться, похоже, что углы их, всё-таки, соответственно равны.
Введём обозначения:
∟АDС=∟D, ∟DАВ=∟А, ∟DСВ=∟1, ∟ВСМ=∟2, ∟АВС=∟3, ∟СВМ=∟4
Как известно, для доказательства подобия треугольников достаточно доказать, что хотя бы два угла одного треугольника равны двум углам другого.
Докажем, что ∟D = ∟4, и, хотя ∟А = ∟2, доказывать это будет уже не обязательно, потому что для треугольников МВС и МDА угол ∟СМВ общий.
Доказательство будет опираться на тот факт, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180˚.
Из этого следует, с что
∟D = 180˚ - ∟3
Но угол ∟3 – смежный с углом ∟4, значит
∟3 = 180˚ - ∟4, отсюда:
∟D = 180˚ - ∟3 = 180˚ - (180˚ - ∟4) = ∟4, что и требовалось доказать.
Аналогично можно доказать, что ∟А = ∟2, но, как уже было сказано, в этом нет необходимости.
Ответ: поскольку ∟D = ∟4, угол ∟СМВ общий, треугольники МВС и МDА подобны
Основные выводы
Для решения этой задачи нужно помнить
- признаки подобия треугольников,
- что сумма смежных углов равна 180˚
- что очень полезен хороший чертёж
Желаю новых успехов в подготовке к ОГЭ!
Оставить комментарий