Решение задач ОГЭ по математике: вариант №27 задача №23

Условие задачи

Отрезки АВ и СD являются хордами окружности. Найдите длину хорды СD, если АВ = 18, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и СD равны соответственно 12 и 9.

Решение

Изобразим ситуацию на чертеже:

Для того, чтобы разобраться с этой задачей, я счёл за благо дополнительно построить радиусы окружности ОА, ОВ, ОС и ОD. Кроме того, нам будут полезны отрезки ОК и ОЕ, перпендикулярные, соответственно, к АВ и СD.

Треугольник АОВ с высотой ОК поможет нам найти R - радиус окружности.

Поскольку ОА = ОВ = R, треугольник АОВ – равнобедренный.

Высота ОК в равнобедренном треугольнике является медианой, следовательно, КВ = 0,5 АВ = 0,5×18 = 9.

Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ОКВ с катетами ОК=12 и КВ=9,

чтобы найти гипотенузу ОВ = R:

R²=12² + 9² = 144 + 81 = 225 = 15²

R = 15

Теперь, обратимся к треугольнику СОD. Разумеется, этот треугольник тоже равнобедренный (СО = ОD = R), и его высота ОЕ делит основание СD пополам, поэтому СD = 2ЕD. Значит, чтобы найти ответ задачи, достаточна найти ЕD и умножить на 2.

Для определения ЕD, являющегося катетом прямоугольного треугольника ЕОD, мы можем опять воспользоваться теоремой Пифагора, так как нам известен катет ОЕ = 9 и гипотенуза ОD=R=15:

ЕD² = ОD² - ОЕ² = 15² - 9² = 225 - 81 = 144 = 12²

ЕD = 12

СD = 2×ЕD = 24

Ответ: 24

Основные выводы

Для решения этой задачи полезны

  • хороший чертёж
  • знание теоремы Пифагора

Желаю новых успехов в подготовке к ОГЭ!

Нет комментариев

Оставить комментарий

Отправить комментарий Отменить

Сообщение