Условие задачи
Отрезки АВ и СD являются хордами окружности. Найдите длину хорды СD, если АВ = 18, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и СD равны соответственно 12 и 9.
Решение
Изобразим ситуацию на чертеже:
Для того, чтобы разобраться с этой задачей, я счёл за благо дополнительно построить радиусы окружности ОА, ОВ, ОС и ОD. Кроме того, нам будут полезны отрезки ОК и ОЕ, перпендикулярные, соответственно, к АВ и СD.
Треугольник АОВ с высотой ОК поможет нам найти R - радиус окружности.
Поскольку ОА = ОВ = R, треугольник АОВ – равнобедренный.
Высота ОК в равнобедренном треугольнике является медианой, следовательно, КВ = 0,5 АВ = 0,5×18 = 9.
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ОКВ с катетами ОК=12 и КВ=9,
чтобы найти гипотенузу ОВ = R:
R²=12² + 9² = 144 + 81 = 225 = 15²
R = 15
Теперь, обратимся к треугольнику СОD. Разумеется, этот треугольник тоже равнобедренный (СО = ОD = R), и его высота ОЕ делит основание СD пополам, поэтому СD = 2ЕD. Значит, чтобы найти ответ задачи, достаточна найти ЕD и умножить на 2.
Для определения ЕD, являющегося катетом прямоугольного треугольника ЕОD, мы можем опять воспользоваться теоремой Пифагора, так как нам известен катет ОЕ = 9 и гипотенуза ОD=R=15:
ЕD² = ОD² - ОЕ² = 15² - 9² = 225 - 81 = 144 = 12²
ЕD = 12
СD = 2×ЕD = 24
Ответ: 24
Основные выводы
Для решения этой задачи полезны
- хороший чертёж
- знание теоремы Пифагора
Желаю новых успехов в подготовке к ОГЭ!
Оставить комментарий