Решение задач ОГЭ по математике: вариант №27 задача №24

Условие задачи

Биссектрисы углов А и D трапеции АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Докажите, что точка М равноудалена от прямых АВ, АD и СD.

Решение

Изобразим ситуацию на чертеже:

Дополнительно продолжим стороны трапеции АВ и СD и опустим на них и на сторону АD перпендикуляры из точки М. Поскольку именно перпендикулярные отрезки МК, МЕ и МР определяют расстояние от точки М до сторон трапеции, необходимо доказать их равенство, чем мы и займёмся.

Для начала, докажем равенство треугольников АМЕ и АМР. Поскольку эти треугольники прямоугольные, из равенства углов ЕАМ и МАР следует равенство углов АМЕ и АМР, с учётом того, что АМ общая сторона, равенство треугольников АМЕ и АМР доказано. Вместе с тем, доказано и равенство МЕ=МР.

Аналогично доказывается равенство треугольников МDР и МDК, из которого вытекает равенство МР=МК.  Получается, что равны все три перпендикуляра МЕ=МР=МК, то есть точка М равноудалена от прямых АВ, АD и СD, что и требовалось доказать.

Основные выводы

  • Для решения этой задачи нужно дополнительно построить из точки пересечения биссектрис перпендикуляры на продолжения боковых сторон и на основание трапеции, а затем доказать равенство образовавшихся треугольников.

Желаю успешной сдачи ОГЭ!

Нет комментариев

Оставить комментарий

Отправить комментарий Отменить

Сообщение