Решение задач ОГЭ по математике: вариант №29 задача №24

Условие задачи

В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1СВ1 и АСВ подобны.

Решение

Изобразим ситуацию на чертеже:

Заметим, что треугольники АСВ и А1СВ1 имеют равные вертикальные углы АСВ и А1СВ1, поэтому для доказательства их подобия достаточно доказать пропорциональность соответствующих сторон.

Для доказательства пропорциональности сторон воспользуемся подобием треугольников АСА1 и ВСВ1. Эти прямоугольные треугольники подобны, так как равны углы: ∟ АСА1=∟ВСВ1 - вертикальные, ∟АА1С=∟ВВ1С=90˚.

Из подобия треугольников АСА1 и ВСВ1 вытекает пропорциональность сторон:

Из этой пропорции, с учётом равенства вертикальных углов АСВ и А1СВ1, следует, что треугольники АСВ и А1СВ1 подобны,

что и требовалось доказать.

Основные выводы

• Для решения этой задачи нужно, начертить хороший чертёж, после чего решение достаточно очевидно.

Желаю успешной сдачи ОГЭ!