Условие задачи
Найдите боковую сторону АВ трапеции АВСD, если углы АВС и ВСD равны соответственно 45˚ и 120˚, а СD = 34.
Решение
Изобразим трапецию АВСD на чертеже:
Выполним дополнительное построение – проведём две высоты АК и СЕ. Что нам это даёт?
В прямоугольном треугольнике АВК острый угол АВК = 45˚, поэтому и второй острый угол ВАК тоже равен 45˚ (180˚ – 90˚ – 45˚), то есть углы при основании АВ треугольника АВК равны, а треугольник этот равнобедренный и ВК = АК.
Хорошо. Ну, и?
Далее, высоты трапеции равны, значит АК = СЕ.
Чтобы найти СЕ рассмотрим прямоугольный треугольник СЕD.
∟ЕСD = ∟ВСD - ∟ВСЕ =120˚ – 90˚ = 30˚
Как известно, катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30˚, равен половине гипотенузы, поэтому
ЕD = 0,5×СD = 0,5×34 = 17
Теперь для определения СЕ воспользуемся теоремой Пифагора
СЕ² = СD² - ЕD² = 34² - 17² = 17²× (2² - 1²) = 3×17²
Для проверки вычислений, можно использовать тригонометрическую формулу:
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для определения АВ
АВ² = ВК² + АК² = 3×17² + 3×17²= 6×17²
Для проверки вычислений, также можно использовать тригонометрическую формулу:
Основные выводы
Для решения этой задачи надо:
- дополнительно построить две высоты трапеции
- использовать свойства углов 30˚и 45˚ в прямоугольных треугольниках
- воспользоваться теоремой Пифагора
Желаю новых успехов в подготовке к ОГЭ!
Оставить комментарий