Условие задачи
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение
Изобразим ситуацию на чертеже:
Идея решения состоит в том, чтобы найти связь площади и периметра трапеции АВСD с высотой ЕМ.
Для облегчения рассуждений введём обозначения:
ВС = а
АD = в
АВ = СD = с
радиус вписанной окружности = R
Выполним дополнительные построения:
Соединим центр вписанной окружности с вершинами трапеции и точками касания окружности и сторон трапеции:
Из чертежа очевидно, что площадь трапеции равна сумме площадей четырёх треугольников – ОАВ, ОВС, ОСD и ОАD.
Основаниями этих треугольников будем считать стороны трапеции – с, а, с, в.
Поскольку радиус окружности, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной, высотами вышеуказанных треугольников являются радиусы – ОР = ОМ = ОТ = ОН = R
Поскольку площадь трапеции равна сумме площадей четырёх треугольников получаем равенство:
Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, получаем формулу, связывающую площадь (S) и периметр (P) трапеции с радиусом вписанной окружности:
Итак, мы установили, что радиус вписанной окружности равен 15. Заметим, что высота трапеции МН равна двум радиусам МО+ОН, то есть МН = 30.
Зная высоту трапеции и её площадь, мы можем найти среднюю линию, а затем и сумму оснований АD и ВС:
Теперь, зная периметр и сумму оснований равнобедренной трапеции, несложно найти боковые стороны:
Следующая проблема, с которой нам предстоит разобраться – определить стороны ВС и АD, для этого нам понадобится ещё один чертёж:
Опустим из вершин трапеции В и С на основание АD высоты ВK и СN. В результате получился прямоугольник KВСN. Противоположные стороны прямоугольника равны, следовательно, ВС = KN.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВK. Нам уже известно, что АВ=50, ВK=30. Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти АK:
АK² = АВ² - ВK² = 2500 – 900 = 1600 = 40²
АK = 40
Поскольку равнобедренная трапеция симметрична, ND = АK = 40, откуда следует, что AD – KN = AD – BC = AK + ND = 40 +40 = 80
Таким образом, мы получили систему уравнений, решив которую мы узнаем длины оснований трапеции:
Отлично!
Теперь докажем равенство углов, образованных диагоналями с основаниями трапеции.
Рассмотрим треугольники САD и ВDА. Поскольку у равнобедренной трапеции углы при основании равны: ∟СDА = ∟ВАD. С учётом того, что АВ = СD, а сторона АD – общая для треугольников САD и ВDА, доказано, что эти треугольники равны.
Из равенства треугольников САD и ВDА следует равенство углов ∟САD = ∟ ВDА, а из равенства этих углов вытекает равенство и накрест лежащих с ними углов:
∟САD = ∟ ВDА = ∟ВСА = ∟DВС.
Теперь, можно перейти, непосредственно, к определению
МЕ - расстояния от точки пересечения диагоналей Е до меньшего основания ВС.
Равенство углов ∟ВСЕ = ∟СВЕ означает, что треугольник ВЕС – равнобедренный, следовательно, высота ЕМ – его медиана, поэтому ВМ = ВС/2 = 10/2 = 5.
Таким же способом можно доказать, что ЕН -медиана в треугольнике АЕD, поэтому АН = АD/2 = 90/2 = 45.
Докажем теперь, что треугольники ВЕМ и АЕН подобны.
Во-первых, эти треугольники прямоугольные.
Во-вторых, как было показано выше, ∟ЕАН = ∟МВЕ.
Две пары углов рассматриваемых треугольников равны, значит они подобны. Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:
Обозначим МЕ = х, тогда
ЕН = МН – х = 30 – х
В этих обозначениях пропорция приводится к уравнению:
45х=5(30-х)
9х = 30-х
10х = 30
х = 3
Таким образом, установлено, что расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания трапеции равно 3.
Ответ 3
Основные выводы
- Решение этой задачи очень трудоемкое и требует много времени. Заниматься её решением на экзамене довольно рискованно – лучше посвятить оставшееся на экзамене время проверке решений остальных задач.
Желаю успешной сдачи ОГЭ!
Оставить комментарий