Решение задач ОГЭ по математике: вариант №3 задача №25

Условие задачи

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение

Изобразим ситуацию на чертеже:

Идея решения состоит в том, чтобы найти связь площади и периметра трапеции АВСD с высотой ЕМ.

 Для облегчения рассуждений введём обозначения:

ВС = а

АD = в

АВ = СD = с

радиус вписанной окружности = R

Выполним дополнительные построения:

Соединим центр вписанной окружности с вершинами трапеции и точками касания окружности и сторон трапеции:

Из чертежа очевидно, что площадь трапеции равна сумме площадей четырёх треугольников – ОАВ, ОВС, ОСD и ОАD.

Основаниями этих треугольников будем считать стороны трапеции – с, а, с, в.

Поскольку радиус окружности, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной, высотами вышеуказанных треугольников являются радиусы – ОР = ОМ = ОТ = ОН = R

Поскольку площадь трапеции равна сумме площадей четырёх треугольников получаем равенство:

Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, получаем формулу, связывающую площадь (S) и периметр (P) трапеции с радиусом вписанной окружности:

Итак, мы установили, что радиус вписанной окружности равен 15. Заметим, что высота трапеции МН равна двум радиусам МО+ОН, то есть МН = 30.

Зная высоту трапеции и её площадь, мы можем найти среднюю линию, а затем и сумму оснований АD и ВС:

Теперь, зная периметр и сумму оснований равнобедренной трапеции, несложно найти боковые стороны:

Следующая проблема, с которой нам предстоит разобраться – определить стороны ВС и АD, для этого нам понадобится ещё один чертёж:

Опустим из вершин трапеции В и С на основание АD высоты ВK и СN. В результате получился прямоугольник KВСN. Противоположные стороны прямоугольника равны, следовательно, ВС = KN. 

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВK. Нам уже известно, что АВ=50, ВK=30. Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти АK:

АK² = АВ² - ВK² = 2500 – 900 = 1600 = 40²

АK = 40

Поскольку равнобедренная трапеция симметрична, ND = АK = 40, откуда следует, что AD – KN = AD – BC = AK + ND = 40 +40 = 80

Таким образом, мы получили систему уравнений, решив которую мы узнаем длины оснований трапеции:

Отлично!

Теперь докажем равенство углов, образованных диагоналями с основаниями трапеции.

Рассмотрим треугольники САD и ВDА. Поскольку у равнобедренной трапеции углы при основании равны: ∟СDА = ∟ВАD. С учётом того, что АВ = СD, а сторона АD – общая для треугольников САD и ВDА, доказано, что эти треугольники равны.

Из равенства треугольников САD и ВDА следует равенство углов ∟САD = ВDА, а из равенства этих углов вытекает равенство и накрест лежащих с ними углов:

 ∟САD = ∟ ВDА = ∟ВСА = ∟DВС.

 Теперь, можно перейти, непосредственно, к определению

МЕ - расстояния от точки пересечения диагоналей Е до меньшего основания ВС.

Равенство углов ∟ВСЕ = ∟СВЕ означает, что треугольник ВЕС – равнобедренный, следовательно, высота ЕМ – его медиана, поэтому ВМ = ВС/2 = 10/2 = 5.

Таким же способом можно доказать, что ЕН -медиана в треугольнике АЕD, поэтому АН = АD/2 = 90/2 = 45.

Докажем теперь, что треугольники ВЕМ и АЕН подобны.

Во-первых, эти треугольники прямоугольные.

Во-вторых, как было показано выше, ∟ЕАН = ∟МВЕ.

Две пары углов рассматриваемых треугольников равны, значит они подобны. Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:

Обозначим МЕ = х, тогда

ЕН = МН – х = 30 – х

В этих обозначениях пропорция приводится к уравнению:

45х=5(30-х)

9х = 30-х

10х = 30

х = 3

Таким образом, установлено, что расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания трапеции равно 3.

Ответ 3

Основные выводы

  • Решение этой задачи очень трудоемкое и требует много времени. Заниматься её решением на экзамене довольно рискованно – лучше посвятить оставшееся на экзамене время проверке решений остальных задач.

Желаю успешной сдачи ОГЭ!

Нет комментариев

Оставить комментарий

Отправить комментарий Отменить

Сообщение