Условие задачи
Биссектрисы углов С и D трапеции АВСD пересекаются в точке Р, лежащей на стороне АВ. Докажите, что точка Р равноудалена от прямых ВС, АD и СD.
Решение
Изобразим ситуацию на чертеже:
Дополнительно продолжим сторону трапеции ВС и опустим на неё и на стороны АD и СD перпендикуляры из точки Р. Поскольку именно перпендикулярные отрезки РК, РЕ и РТ определяют расстояние от точки Р до сторон трапеции, необходимо доказать их равенство, чем мы и займёмся.
Для начала докажем равенство треугольников РКС и РСТ. Поскольку эти треугольники прямоугольные, из равенства углов РСВ и РСТ следует равенство углов СРК и СРТ, с учётом того, что РС общая сторона, равенство треугольников РКС и РСТ доказано. Вместе с тем, доказано и равенство РК=РТ.
Аналогично доказывается равенство треугольников DАР и DТР, из которого вытекает равенство РЕ=РТ. Получается, что равны все три перпендикуляра РЕ=РТ=РЕ, то есть точка Р равноудалена от прямых ВС, АD и СD, что и требовалось доказать.
Основные выводы
- Для решения этой задачи нужно дополнительно построить из точки пересечения биссектрис перпендикуляры на основания трапеции и боковую сторону, а затем доказать равенство образовавшихся треугольников.
Желаю успешной сдачи ОГЭ!
Оставить комментарий