Решение задач ОГЭ по математике: вариант №19 задача №24

Условие задачи

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что углы ВВ1С1 и ВСС1 равны.

Решение

Изобразим ситуацию на чертеже:

На первый взгляд, углы 1 и 2 никак не связаны. Но, на второй взгляд, если они, в самом деле равны, то, с учётом того, что углы С1ОВ1 и СОВ равны, как вертикальные, треугольники СОВ и С1ОВ1 подобны. Из этого рассуждения возникает идея решения: для доказательства равенства углов 1 и 2 достаточно доказать подобие вышеуказанных треугольников. Для доказательства воспользуемся вторым признаком подобия треугольников, когда две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключённые между этими сторонами равны.

Откуда же следует пропорциональность сторон?

А из подобия треугольников ВОС1 и СОВ1. В свою очередь, подобие этих треугольников является следствием равенства углов: ∟ВС1О=∟ОВ1С – прямые, ∟ВОС1=∟В1ОС – вертикальные.

Итак, из подобия треугольников ВОС1 и СОВ1 следует:

то есть стороны пропорциональны. Причём, это стороны не только треугольников ВОС1 и СОВ1, но и треугольников СОВ и С1ОВ1. Углы СОВ и С1ОВ1, заключённые между пропорциональными сторонами равны, как вертикальные, следовательно, треугольники СОВ и С1ОВ1 подобны, и, значит углы ОСВ и С1В1О равны, что и требовалось доказать.

Основные выводы

Для решения этой задачи нужно

  • нужно доказать подобие соответствующих треугольников.

Желаю успешной сдачи ОГЭ!

Нет комментариев

Оставить комментарий

Отправить комментарий Отменить

Сообщение