Условие задачи
На средней линии трапеции АВСD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и АЕD равна половине площади трапеции.
Решение
Изобразим ситуацию на чертеже:
Дополнительно построим ОН - высоту трапеции, проходящую через точку Е.
Введём обозначения:
а = АD
в = ВС
h = ОН
h1 = ОЕ
h2 = ЕН
Площадь треугольника ВЕС = S1
Площадь треугольника АЕD = S2
В этих обозначениях сумма площадей треугольников ВЕС и АЕD выглядит так:
Поскольку средняя линия РК параллельна основаниям трапеции ВС и АD, она делит высоту ОН в той же пропорции, что и боковые стороны, то есть пополам. Следовательно, h1 = h2 = 0,5h.
С учётом этого обстоятельства сумма площадей треугольников приобретает вид формулы половины площади трапеции:
что и требовалось доказать.
Основные выводы
- Для решения этой задачи нужно дополнительно построить высоту через вершины треугольников и применить формулы для площадей треугольников и трапеций.
Желаю новых успехов в подготовке к ОГЭ!
Оставить комментарий