Введение
Однажды я подумал, что было бы хорошо разобрать хотя бы один тренировочный вариант полностью. Начал решать все задачи подряд. Дело шло быстро, пока не осталась последняя задача - №25. Вот где нашла коса на камень! Я потратил на неё несколько часов, но так и не нашёл решения, в котором бы использовались знания, не выходящие за пределы программы девяти классов средней школы. То решение, которое я придумал, опирается на тригонометрические формулы, изучаемые в десятом классе.
Друзья мои, если кто-то найдёт более простое решение, сообщите, пожалуйста, в комментариях!
Условие
Таким образом, дано:
ABCD – трапеция, ∟BAD = 51˚, ∟ADC = 39˚, AM=MB, DN=NC, BE=EC, AO=OD, OE=17, MN=19
Требуется найти BC и AD.
Для решения задачи могут быть полезны следующие сведения.
База знаний
1. Около любого треугольника можно описать окружность.
2. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
3. Противоположные стороны параллелограмма равны.
4. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
5. Если в прямоугольном треугольнике a – катет, противолежащий углу α, b – катет, прилежащий углу α, c – гипотенуза, тогда
a = cˑ sin α
b = aˑ ctg α
ctg α = tg (90˚- α)
sin 2α = 2ˑ sin α ˑ cos α
tg α = sin α /cos α
ctg α = cos α /sin α
(sin α)²+ (cos α)² = 1
Решение
Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке F.
FE – медиана треугольника BFC, значит её продолжение будет медианой подобных треугольников MFN и AFD. Таким образом доказано, что прямая OE проходит через точку F.
Опишем вокруг треугольника AFD окружность.
Дуга AF=2ˑ 39˚=78˚, дуга FD=2ˑ 51˚=102˚,
дуга AFD=AF+FD=78˚+102˚=180˚, следовательно, дуга AD, на которую опирается вписанный ∟AFD, тоже равна 180˚.
Поэтому, ∟AFD=180˚/2=90˚.
По той же причине, AD – диаметр окружности, а O – её центр.
Из этого следует, что OA=OF=OD=R – радиусы окружности,
поэтому треугольники AOF и FOD равнобедренные, ∟AFO=∟OAF=51˚ ∟AOF=180˚- 51˚- 51˚= 78˚
Выполним дополнительные построения:
BH, CT – высоты трапеции
GB ‖ EO, так что GBEO – параллелограмм
Противоположные стороны параллелограмма равны, значит GB = EO = 17
GB ‖ EO, следовательно ∟HGB = ∟GOE=78˚
BH = GB ˑsin HGB =17ˑ sin 78˚
Запомним промежуточный результат:
высота трапеции h = 17ˑˑsin 78˚
Целью последующих выкладок является построение уравнения, включающего все исходные данные и искомую величину.
Для этого выразим площадь трапеции через три составляющие её фигуры - треугольник ABH, прямоугольник HBCT и треугольник TDC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH:
AH = BHˑ ctg BAH = h ctg 51˚
Площадь треугольника ABH равна SABH = 0,5ˑ hˑ AH = 0,5ˑ h²ˑ ctg 51˚
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник TDC:
CT и BH противоположные стороны прямоугольника HBCT, поэтому
CT = BH = h
TD = CTˑ ctg CDT= hˑ ctg 39˚
Площадь треугольника CDT равна STCD = 0,5 ˑ h ˑ TD = 0,5 ˑ h²ˑ ctg 39˚
Наконец, рассмотрим прямоугольник HBCT:
его площадь SHBCT = HB ˑBC = hˑ x,
где x обозначает неизвестную величину BC.
Теперь выразим площадь трапеции ABCD разными способами и получим искомое уравнение:
SABCD = h ˑMN = h ˑ 19
С другой стороны:
SABCD = SABH + SHBCT + STCD = 0,5 ˑ h² ˑ ctg 51˚+ h x + 0,5 ˑh² ˑctg 39˚
Приравняем правые части этих выражений:
19 ˑh = 0,5 ˑ h² ˑ ctg 51˚+ h ˑ x + 0,5 ˑ h² ˑctg 39˚
Поскольку h≠0, можно на это число сократить:
19 = 0,5 ˑh ˑctg 51˚+ x + 0,5 ˑh ˑctg 39˚
x = 19 - 0,5ˑ h ˑ(ctg 51˚+ ctg 39˚)
x = 19 - 0,5 ˑ 17 ˑsin 78˚ˑ (ctg 51˚+ ctg 39˚)
поскольку
sin 78˚= sin 2ˑ 39˚= 2ˑ sin 39˚ˑ cos 39˚
ctg 51˚= ctg (90˚- 39˚) = tg 39˚
получаем:
x = 19 - 0,5 ˑ 17ˑ 2ˑ sin 39˚ˑ cos 39˚ ˑ (tg 39˚ + ctg 39˚)
x = 19 - 17ˑ ˑsin 39˚ˑ cos 39˚ ˑ (tg 39˚ + ctg 39˚)
x = 19 - 17 ˑ((sin 39˚)² + (cos 39˚)²)
x = 19 - 17ˑ 1 = 2
Итак, BC = 2
Осталось найти AD.
Для этого используем формулу для средней линии трапеции:
MN = (AD+BC) / 2
AD = 2ˑ MN - BC = 2ˑ 19 - 2 = 36
Ответ 2 36
Основные выводы
Как видите, друзья мои, задача сложная, требует знания тригонометрии и отнимает много драгоценного на экзамене времени. А дают за неё всего 2 балла, да и то, если экзаменаторы посчитают ваши доказательства убедительными. Между тем для того, чтобы получить «5» на ОГЭ, решать именно эту задачу не обязательно, даже если она есть в вашем варианте.
Впрочем, если вы хотите показать 100% результат, вспомните мой вариант решения или найдите что-нибудь попроще.
Так что не падайте духом!
Успехов в учёбе!
Буду признателен за комментарии!
Оставить комментарий