Решение задач ОГЭ по математике - геометрия задача 17 вариант 11

Введение

В этой заметке приводится подробный разбор задачи №17 из варианта №11.  Правильное решение задачи даёт 1 балл.

Условия задачи

Дано:

ABCD – равнобедренная трапеция

 BC = 7

высота BF = 5

угол ∟1 = 45˚

Найти AD

База данных

В решении будут использованы следующие сведения

В прямоугольнике противоположные стороны равны.

Сумма углов треугольника 180˚.

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

У равнобедренной трапеции равны боковые стороны и углы при основании.

Если у двух треугольников равны стороны и прилегающие к этим сторонам углы, то треугольники равны.

Решение

Построим в трапеции ABCD ещё одну высоту CE, в результате, получится прямоугольник FBCE, в котором противоположные стороны равны.

Таким образом, установлено, что

FE = BC = 7

Теперь докажем, что треугольник ABF равнобедренный.

Сумма углов треугольника 180˚, поэтому

∟1+ ∟2 + ∟3 = 180˚

45˚ + ∟2 + 90˚ = 180˚

∟2 = 180˚ - 45˚ - 90˚

∟2 = 45˚

Таким образом, углы при основании AB треугольника равны

∟1 = 45˚ = ∟2,

следовательно, оный треугольник равнобедренный и его боковые стороны равны

FA = BF = 5.

А теперь, вспомним, что трапеция равнобедренная, значит

 AB = CD

 ∟ 1 = ∟4 = 45˚

 А поскольку ∟6 = 90˚ (так как CE – высота), то ∟5 = 45˚, значит треугольники ABF и ECD равны, так как равны стороны AB = CD и прилегающие к ним углы ∟ 1 = ∟4, ∟2 = ∟5

следовательно

AF = ED = 5

Наконец,

AD = AF + FE + ED = 5 + 7 + 5 = 17

Ответ: 17

Основные выводы

Итак, для решения задач такого типа необходимо иметь перед глазами чертёж, дополнительно построить высоту CE.

Ну, а дальше вспомнить факты, перечисленные выше в базе знаний, и один бал у вас в активе!

 Напишите в комментариях, пожалуйста, насколько сложной вам кажется задача. Это интересно!

Желаю успеха в подготовке к ОГЭ!