Введение
В этой заметке приводится решение задачи под номером №19 варианта № 11. Задание содержит три спорных утверждения. В ответе следует указать номер верного утверждения.
Вопрос № 1
Верно ли утверждение:
«Через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой»
Самый убедительный способ доказать, что нечто можно сделать, показать, как это делается. В данном случае при помощи циркуля и линейки. (Циркуль — это инструмент для черчения окружности).
Но не пугайтесь, программа PowerPoint нам его заменит.
Построим прямую AB, точку O и окружность с центром в этой точке
Допустим, С это середина отрезка AB
Проведём прямую через точки O и C
Рассмотрим треугольник AOB
AO = OB – радиусы окружности
значит Δ AOB – равнобедренный
OC – медиана в равнобедренном треугольнике,
опущенная на его основание,
значит OC – высота, то есть перпендикуляр,
проведённый через точку O на прямую AB
Таким образом, первое утверждение верно и в ответ ставим цифру 1.
Вопрос № 2
Верно ли утверждение:
«В любой прямоугольник можно вписать окружность»
Начертим прямоугольник ABCD и попробуем вписать в него окружность.
Чтобы это сделать необходимо найти точку, равноудалённую от сторон прямоугольника.
Множество всех точек, равноудалённых от сторон BC и AD, расположено на прямой MN,
где M - середина AB, а N – середина CD
Множество всех точек, равноудалённых от прямых AB и CD, расположено на прямой EK,
здесь E – середина AD, а K – середина BC
Казалось бы, расположенная на пересечении MN и EK точка O, должна быть равноудалённой и от всех четырёх сторон,
то есть OM = ON = OK = OE
но, увы, это так, только в том случае, если все стороны прямоугольника равны, то есть он является квадратом.
Если что и можно вписать в наш прямоугольник ABCD, так это эллипс:
Итак, второе утверждение не верно, и в ответ цифру 2 не пишем.
Вопрос № 3
Верно ли утверждение:
«Любая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой»
То, что биссектриса, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на его основание, является медианой – общеизвестный факт. А вот является ли медианой биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника, вопрос, конечно, интересный. Кажется очевидным, что это не всегда так. Но, математика – наука строгая и требует доказательств.
Попробуем доказать.
Построим равнобедренный треугольник ABC с биссектрисой AD угла A при основании.
Допустим, что BD = DC
Опустим из точки D перпендикуляр DE на сторону AB и перпендикуляр DK на сторону AC.
Поскольку AD биссектриса, любая точка на ней, в том числе, точка D равноудалена от сторон угла, значит DE = DK.
Из теоремы Пифагора следует, что если две стороны одного прямоугольного треугольника равны двум сторонам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.
Δ DBE = Δ DKC, так как они прямоугольные, DE = DK, DB = DC.
Отсюда следует, что ∟B = ∟C = ∟ A
В любом треугольнике против равных углов лежат равные стороны, следовательно, Δ ABC – равносторонний.
Таким образом, доказано, что любая биссектриса треугольника является медианой тогда и только тогда, когда этот треугольник не просто равнобедренный, но и равносторонний, а в общем случае это утверждение не верно.
Значит, в ответ цифру 3 не пишем
Ответ: 1
Основные выводы
Для правильного ответа на поставленный вопрос будет полезно знать, что
- если есть циркуль и линейка, то из любой точки на листочке можно опустить перпендикуляр на прямую
- капризная окружность вписывается не во всякий прямоугольник
- не любая биссектриса треугольника является медианой, даже если он равнобедренный
Желаю новых успехов в подготовке к ОГЭ!
Оставить комментарий