Условие задачи
Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке Е, лежащей на стороне ВС. Докажите, что Е – середина ВС.
Решение
Изобразим ситуацию на чертеже:
Дополнительно построим отрезок ОЕ параллельно АВ и СD.
Рассмотрим треугольники ОЕD и ЕСD. Поскольку ЕС параллельна ОD, углы 1 и 4 равны – внутренние накрест лежащие. Аналогично, углы 3 и 2 равны вследствие параллельности ОЕ и СD. К тому же, сторона ЕD – для треугольников ОЕD и ЕСD общая, из чего вытекает равенство этих треугольников. А, поскольку ЕD – биссектриса угла D, равны углы ∟1 = ∟2 = ∟3 = ∟4. Из равенства углов при основании следует то, что треугольники ОЕD и ЕСD равнобедренные, значит ОЕ = ОD и ЕС = СD. А с учётом того, что Δ ОЕD = Δ ЕСD получается, что ОЕ = ОD = ЕС = СD, тот есть ОЕСD ромб.
Аналогично можно доказать, что АВЕО – тоже ромб. А, поскольку ОЕ – общая сторона обоих ромбов, равны все их стороны, в том числе, ВЕ = СЕ,
что и требовалось доказать.
Основные выводы
Для решения этой задачи
- нужно дополнительно построить через точку Е отрезок параллельный боковым сторонам параллелограмма и убедиться в том, что он разбивает параллелограмм на два ромба.
Желаю новых успехов в подготовке к ОГЭ!
Оставить комментарий